Nelsa era oriunda de Paysandú. Estudió Derecho, estaba casada y militaba en el Partido Obrero Revolucionario (POR) en Uruguay. En 1973 se radicó en Chile, donde se vinculó a la militancia en el Movimiento de Izquierda Revolucionaria (MIR).
El 19 de diciembre de 1973, alrededor de veinte efectivos militares ingresaron por la fuerza al departamento donde residía, en el barrio de Ñuñoa, en Santiago de Chile. Fue detenida en ese operativo y trasladada a dependencias represivas.
Diversos testimonios la sitúan en el campamento de prisioneros de Tejas Verdes, donde fue sometida a torturas. Fue vista con vida por última vez al día siguiente de su detención.
Desde entonces permanece desaparecida. Tenía 29 años.
La Corte Suprema Chilena confirmó en una sentencia del 7 de setiembre de 2015, que Nelsa Zulema Gadea Galán fue víctima del delito de secuestro calificado, cometido a partir de diciembre de 1973, cuando fue detenida por personal militar y vista con vida por última vez en la Escuela de Ingenieros Militares de Tejas Verdes. Desde entonces se desconoce su paradero. El tribunal estableció que su privación de libertad constituyó un delito permanente, al no haberse acreditado su liberación ni su muerte.
La sentencia confirmó la responsabilidad penal de diversos agentes vinculados a los aparatos represivos de Chile, quienes fueron condenados como coautores del secuestro y desaparición de Nelsa Gadea y Julio César Fernández
